Un repaso a las diferentes clases de conjuntos.

Al ser humano le gusta clasificar el mundo. Ya desde tiempos clásicos, en la Grecia Antigua, grandes filósofos como Aristóteles elaboraron complejos sistemas clasificatorios para plantas, animales y otros elementos que componen la realidad

En el mundo moderno nos hemos provisto de ciencias como las matemáticas y la lógica para poder expresar de forma objetiva y numérica conceptos propios de la filosofía.

Los conjuntos son colecciones de diferentes elementos,que son expresados mediante expresiones numéricas. En este artículo vamos a ver qué son las diferentes clases de conjuntos, además de detallar en profundidad cómo se expresan poniendo ejemplos.

¿Qué es un conjunto?

Se trata de una agrupación de elementos que están dentro de una misma categoría o comparten tipología. Cada uno de sus elementos se encuentran diferenciados los unos de los otros.

En matemáticas y otras ciencias, los conjuntos son representados de forma numérica o simbólica, y se les nombra con una letra del alfabeto seguido del símbolo ‘=’ y unas llaves en las que se colocan dentro los elementos del conjunto.

Así, un conjunto se puede representar de la siguientes maneras:

  • A = {1,2,3,4,5}
  • B ={azul, verde, amarillo, rojo}
  • C ={rosa, margarita, geranio, girasol}
  • D = {números pares}
  • E = {consonantes del alfabeto latino}

Como se puede ver en estos ejemplos, en la expresión de los conjuntos se pueden enumerar todos los elementos que lo componen (ejemplos A,B y C) o, simplemente, poner una frase que define todo lo que lo constituye (ejemplos D y E).

A la hora de escribir un conjunto es necesario ser claro y que la definición no induzca a error. Por ejemplo, el conjunto {cuadros bonitos} no es un buen conjunto, dado que el definir qué se entiende por arte bonito es algo totalmente subjetivo.

Clases de conjuntos, y ejemplos

En total existen unos 14 tipos diferentes de conjuntos, útiles para las matemáticas y la filosofía.

1. Conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales en el caso de que contengan los mismos elementos.

Por ejemplo: A = {números impares del 1 al 15} y B = {1,3,5,7,9,11,13,15}, entonces A = B.

Si dos conjuntos no tienen los mismos elementos y, por tanto, no son iguales, se representa su desigualdad mediante el símbolo ‘≠’. C = {1,2,3} y D = {2,3,4}, por tanto C ≠ D.

El orden de los elementos de ambos conjuntos no importa, siempre y cuando sean los mismos. E = {1,4,9} y F = {4,9,1}, por tanto E = F.

Si en un conjunto sale repetido el mismo elemento (p.ej, B {1,1,3,5...}) la repetición debe ignorarse, dado que es posible que se deba a un error en la anotación.

2. Conjuntos finitos

Los conjuntos finitos son aquellos en los que es posible contar todos sus elementos. {números pares del 2 al 10} = {2,4,6,8,10}

Cuando en un conjunto hay muchos elementos pero estos son concretos y queda claro cuales son, se representan mediante tres puntos ‘...’: {números impares del 1001 al 1501} = {1001,1003,1005,...,1501}

3. Conjuntos infinitos

Se trata de lo contrario a los conjuntos finitos. En los conjuntos infinitos hay infinidad de elementos: {números pares} = {2,4,6,8,10...}

En este ejemplo se pueden enumerar cientos de elementos, pero nunca se llegará al final. En este caso los tres puntos no representan valores concretos, sino continuidad.

4. Subconjuntos

Como su propio nombre indica, se trata de conjuntos dentro de conjuntos con más elementos.

Por ejemplo, el cúbito es un hueso del cuerpo humano, por este motivo diríamos que el conjunto de huesos cúbitos es un subconjunto del conjunto de huesos. Así pues: C = {huesos cúbitos} y H = {huesos humanos}, entonces C ⊂ H.

Esta expresión de aquí arriba se lee como C es un subconjunto de H.

Para representar lo contrario, es decir, que un conjunto no es un subconjunto de otro, se utiliza el símbolo ⊄. {arácnidos} ⊄ {insectos}

Las arañas, aunque son artrópodos, no están dentro de la categoría de los insectos.

Para representar la relación de un determinado elemento con un conjunto usamos el símbolo ∈, el cual se lee ‘elemento de’.

Volviendo al ejemplo anterior, una araña es un elemento que constituye la categoría arácnidos, así pues araña ∈ arácnidos, en cambio, no forma parte de la categoría insectos, así pues araña ∉ insectos.

5. Conjunto vacío

Se trata de un conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa mediante el símbolo Ø o con dos claves vacías {} y, como se puede deducir, ningún elemento del universo puede constituir este conjunto, dado que de constituirlo deja automáticamente de ser un conjunto vacío. | Ø | = 0 y X ∉ Ø, no importa lo que X pueda ser.

6. Conjuntos disjuntos o disyuntivos

Dos conjuntos son disyuntivos si no comparten para nada elementos. P = {razas de perros} y G = {razas de gatos}.

Estas son parte de las clases de conjuntos más frecuentes, ya que van muy bien para clasificar de una manera clara y ordenada.

7. Conjuntos equivalentes

Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, pero sin que estos sean los mismos. Por ejemplo: A = {1,2,3} y B = {A,B,C}

Así pues,n (A) = 3, n (B) = 3. Ambos conjuntos tienen tres elementos exactamente, lo cual significa que son equivalentes. Esto se representa de la siguiente manera: A ↔️ B.

8. Conjuntos unitarios

Son conjuntos en los que solamente hay un elemento: A = {1}

9. Conjunto universal o referencial

Un conjunto es universal si está constituido por todos los elementos de un contexto concreto o una teoría en particular. Todos los conjuntos en este marco son los subconjuntos del conjunto universal en cuestión, el cual es representado mediante la letra U en cursiva.

Por ejemplo, se puede definir a U como el conjunto de todos los seres vivos del planeta. Así pues, los animales, las plantas y los hongos serían tres subconjuntos dentro de U.

Si, por ejemplo consideramos que U es todos los animales del planeta, subconjuntos de él serían los gatos y los perros, pero no las plantas..

10. Conjuntos superpuestos o solapados

Se trata de dos o más conjuntos que comparten como mínimo un elemento. Se pueden representar de forma visual, mediante diagramas de Venn. Por ejemplo. A = {1,2,3} y B = {2,4,6}.

Estos dos conjuntos tienen en común el número 2.

11. Conjuntos congruentes

Son dos conjuntos cuyos elementos tienen la misma distancia entre ellos. Normalmente suelen ser de tipo numérico o alfabético. Por ejemplo: A = {1,2,3,4,...} y B = {10,11,12,13,14,...}

Estos dos conjuntos son congruentes, dado que sus elementos tienen la misma distancia entre ellos, siendo una unidad de diferencia en cada eslabón de la secuencia.

12. Conjuntos no congruentes.

De forma contraria al punto anterior, los conjuntos no congruentes son aquellos en los que sus elementos no presentan la misma distancia entre ellos. A = {1,2,3,4,5,...} y B = {1,3,5,7,9,...}

En este caso se puede ver que los elementos de cada conjunto tienen distancias diferentes, siendo una distancia de una unidad en el conjunto A y una distancia de dos en el conjunto B. Por lo tanto, A y B no son conjuntos congruentes entre ellos.

Un conjunto no congruente por separado es aquel en el que no es posible establecer una fórmula o patrón claro para explicar por qué tiene los elementos que los constituyen, por ejemplo: C = {1,3,7,11,21,93}

En este caso no es posible saber por vía de las matemáticas el por qué de que este conjunto tenga estos números.

13. Homogéneos

Todos los elementos del conjunto pertenecen a la misma categoría, es decir, son del mismo tipo: A = {1,2,3,4,5} B ={azul,verde,amarillo,rojo} C ={a,b,c,d,el}

14. Heterogéneos

Los elementos del no constituyen una categoría clara por sí misma, sino que la inclusión de sus elementos parece ser debida al azar: A = {5, avión, X, caos}

Referencias bibliográficas:

  • Brown, P. et al (2011). Sets and Venn diagrams. Melbourne, University of Melbourne.
  • “Tipos de conjuntos” (s/f.). En Hay Tipos. Disponible en: https://haytipos.com/conjuntos/ [Consultado: 21 de agosto de 2019].
  • Types of sets (s/f). Recuperado de: math-only-math.com.